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Keine gleichschenkligen Dreiecke für Sie!

Willkommen bei The Riddler. Jede Woche biete ich Probleme im Zusammenhang mit den Dingen an, die uns hier am Herzen liegen: Mathematik, Logik und Wahrscheinlichkeit. Jede Woche werden zwei Rätsel vorgestellt: der Riddler Express für diejenigen unter Ihnen, die etwas Bissiges wollen, und der Riddler Classic für diejenigen unter Ihnen, die sich in der langsamen Rätselbewegung befinden. Senden Sie eine korrekte Antwort für entweder

Wichtiges Kleingedrucktes: Um 👏 zu gewinnen 👏, muss ich Ihre richtige Antwort vor erhalten) : Ostzeit am Montag. Ich wünsche Ihnen ein schönes Wochenende!

„data-footnote-id =“ 1 „href =“ http://fivethirtyeight.com/#fn-1 „> 1 und Sie erhalten möglicherweise einen Ruf in der nächsten Spalte. Bitte warten Sie bis Montag, um Ihre Antworten öffentlich zu teilen! Wenn Sie einen Hinweis benötigen oder haben Ein Lieblingspuzzle, das Staub auf Ihrem Dachboden sammelt. Finden Sie mich auf Twitter.

Riddler Express

Die Riddler Cheese Company produziert sogenannte „Craft Triple“ – dreieckige Käsescheiben, deren Seitenlängen pythagoreische Tripel sind, gemessen in Zoll.

Die Schneidemaschine des Unternehmens hatte jedoch kürzlich eine Fehlfunktion und produzierte einen Vorrat an quadratischen Scheiben mit einer Seitenlänge von 5 Zoll. Um diese Situation zu retten, was ist die größte Anzahl ganzer pythagoreischer Scheiben, die aus jedem 5-Zoll-Quadrat hergestellt werden können? (Hinweis: Sie können nur Teile aus dem Quadrat herausschneiden. Keine schmelzenden oder zusammenklebenden Teile!)

Extra Kredit: Was ist das kleinste Quadrat e von Käse so, dass 17 Prozent des Quadrats können in Bastel-Tripel unterteilt werden?

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Riddler Classic

Der Klassiker dieser Woche wird von Jordan Ellenberg serviert, dessen neues Buch „Shape“ zum Verkauf angeboten wird Kann 25.

Einer der vielen Geometer, die in „Shape“ erscheinen, ist der große Paul Erdős. In 59 ist Erdős selbst stellte ein Rätsel über sogenannte „gleichschenklige Mengen“: Wie viele Punkte können Sie in d setzen – Dimensionsraum, so dass drei von ihnen ein gleichschenkliges Dreieck bilden?

In zwei Dimensionen hat die größte gleichschenklige Menge genau sechs Punkte, wobei fünf die Eckpunkte eines regulären bilden Fünfeck und der sechste Punkt in der Mitte. In drei Dimensionen hat der größte gleichschenklige Satz acht Punkte; In vier Dimensionen hat der größte Satz Punkte. Und in Dimensionen über acht weiß niemand, was die größten gleichschenkligen Sätze sein könnten!

Aber diese Woche fragt Jordan nach dem, was er nennt

anti – gleichschenklige Sets. Betrachten Sie ein N × N Punktegitter. Was ist die größte Teilmenge dieser N 2 Punkte, so dass keine drei von ihnen ) ein gleichschenkliges Dreieck bilden? (Hinweis: Entartete Dreiecke oder Dreiecke mit Nullfläche zählen hier als Dreiecke, solange Ihre drei Eckpunkte sind unterschiedlich.)

Wie unten gezeigt, hat die größte gleichschenklige Einheit in einem 2 × 2-Raster zwei Punkte; Bei einem 3 × 3-Raster hat der größte gleichschenklige Satz vier Punkte. (Hinweis: Für beide Gitter gibt es mehrere Sätze mit dieser maximalen Anzahl von Punkten.)

a 2x2 grid of points with two points highlighted (diagonally opposite). a 3x3 grid of points with four points highlighted (the two leftmost points in the top row and the two rightmost points in the bottom row).

Wie viele Punkte enthält die größte gleichschenklige Menge, die für ein 4 × 4-Raster festgelegt wurde?

Zusätzliche Gutschrift: Was ist mit einem 5 × 5-Raster, einem 6 × 6-Raster oder sogar größeren quadratischen Gittern? Können Sie einen Ausdruck (oder Grenzen) für die Größe der größten gleichschenkligen Mengen finden, die für das allgemeine N × N Gitter? (Wenn Sie etwas über den allgemeinen Fall herausfinden, würde Jordan gerne davon hören!)

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Lösung für den Riddler Express der letzten Woche

Herzlichen Glückwunsch an Erik Voigt aus New York, Gewinner der letzten Woche Riddler Express.

Letzte Woche teilten Sie und Ihre unendlich vielen Freunde einen Kuchen und Sie hatten zwei ziemlich bizarre Möglichkeiten, ihn aufzuteilen. [(N+1)×(N+1)]

Für die erste Methode nahm Freund 1 die Hälfte des Kuchens, Freund 2 ein Drittel von was übrig blieb , Freund 3 nahm ein Viertel von dem, was nach Freund 2 übrig blieb, Freund 4 nahm ein Fünftel von dem, was nach Freund 3 übrig war, und so weiter. Nachdem Ihre unendlich vielen Freunde ihre jeweiligen Stücke genommen hatten, haben Sie alles bekommen, was noch übrig war.

Für die zweite Methode haben Ihre Freunde beschlossen, Ihnen ein wenig mehr von der Aufnahme zu ersparen. Diesmal nahm Freund 1 1/2 2 (oder ein Viertel) des Kuchens, Freund 2 nahm 1/3 2 (oder ein Neuntel) von

was übrig blieb , nahm Freund 3 1/4 2

von dem, was nach Freund 3 übrig war, und so weiter. Nachdem deine unendlich vielen Freunde ihre jeweiligen Stücke genommen hatten, hast du wieder alles, was noch übrig ist.

Wie viel Kuchen hast du mit jeder dieser Methoden bekommen?

Bei diesen beiden Problemen wurde in einem cleveren mathematischen Schritt untersucht, wie viel Kuchen noch übrig war, nachdem jeder Freund seine Portion genommen hatte. Bei der ersten Methode blieb 1/2 nach Freund 1. Freund 2 nahm 1/3 von dem, was übrig war, was bedeutet, dass sie 2/3 des 1/2 oder 2/3 × 1/2 des ursprünglichen Kuchens zurückließen . In ähnlicher Weise war nach Freund 3 noch 3/4 · 2/3 · 1/2 des Kuchens übrig.

Umkehren der Reihenfolge der Fraktionen in diesen Produkten, Die Menge, die übrig blieb, nachdem N Freunde ihre Stücke genommen hatten, betrug 1/2 × 2/3 × 3/4 × 4/5 × 5/6 × 6/7 ×… × N / ([N×(N+2)] N + 1). Der Nenner jeder Fraktion wurde mit dem Zähler der nächsten Fraktion aufgehoben, so dass das Gesamtprodukt nur 1 / ( N betrug + 1). In der Grenze von unendlich vielen Freunden ging dieses Produkt auf Null

, was bedeutet, dass Sie mit der ersten Methode keinen Kuchen bekommen haben!

Die zweite Methode sah vielversprechender aus. Dieses Mal, nachdem N Freunde ihre jeweiligen Stücke genommen hatten, war der verbleibende Betrag (2 2 – 1) / 2 2 × (3 2 – 1) / 3 2 × (4

2 – 1) / 4 2 ×… × [(N+1)2−1] / ( N + 1) 2 . Zunächst schien es ziemlich schwierig zu sein, dies zu bewerten. Wie jedoch die Löserin Elaine H. aus Tampa, Florida, feststellte, unterscheiden sich Quadrate wie a [(N+1)2−1] 2 – 1 kann immer als ( a + 1) ( a – 1 ).

Mit dieser Identität können wir dieses kräftigere Produkt als (1 × 3) / (2 × 2) × (2 × 4) / (3 ×) umschreiben 3) × (3 × 5) / (4 × 4) × (4 × 6) / (5 × 5) ×… × [N×(N+2)] / [(N+1)×(N+1)]. Diesmal wurden die beiden Faktoren in jedem Nenner mit Faktoren in den Zählern sowohl in den vorhergehenden als auch in den folgenden Brüchen aufgehoben. Am Ende war nur noch 1/2 × ( N + 2) / ([(N+1)2−1] übrig N + 1). In der Grenze von unendlich vielen Freunden ist der Bruch ( N + 2) / ([(N+1)×(N+1)] N + 1) näherte sich 1, was bedeutete, dass Sie genau die Hälfte

des Kuchens mit der zweiten Methode. Das ist genau dort eine halbwegs anständige Portion!

Für zusätzliche Gutschrift haben Sie jeden zweiten Begriff aus dem Produkt der zweiten Methode entfernt und Sie haben (2

2 – 1) / 2 2 × (4 2 – 1) / 4

2 × (6 2 ) −1) / 6 2 × (8 2 – 1) / 8 2 und bald. Da Begriffe aus dem zweiten Produkt entfernt wurden, musste dieses neue Produkt größer als die Hälfte sein. Es stellte sich heraus, dass dies der Kehrwert des Wallis-Produkts war, was bedeutete, dass Sie 2 / 𝜋 erhielten oder ungefähr 20 7 Prozent des Kuchens. Weitere Informationen zum Wallis-Produkt und eine Möglichkeit, es mithilfe komplexer Analysen zu beweisen, finden Sie in Laurent Lessards Artikel.

Lösung für die letzte Woche Riddler Classic

Herzlichen Glückwunsch an Dallas Trinkle aus Urbana, Illinois, Gewinner des Riddler Classic der letzten Woche.

Letzte Woche nahmen drei Schüler der vierten Klasse von Matt Yeager – Spieler A, B und C – an einer Partie

teil Vene . In jeder Runde sagten die Spieler abwechselnd Zahlen (Spieler A, dann B, dann C, dann wieder A usw.). Der erste Spieler, der ging, sagte die Nummer „1“. Jede Zahl musste entweder eins, zwei, drei oder vier mehr sein als die vom vorherigen Spieler angegebene Zahl. Wenn jemand sagte „12 ”, die Runde war vorbei und die nächste Person wurde eliminiert, mit der folgenden Person beginnt die nachfolgende Runde. Zum Beispiel, wenn Spieler A sagte: „16 “, dann wurde Spieler B eliminiert, während Spieler C die nächste Runde mit„ 1 “begann. Zu keinem Zeitpunkt konnte jemand eine Zahl sagen, die größer war als 16.

Alle drei Spieler wollten nach den beiden der Gewinner sein (dh der einzige verbleibende Spieler) Runden. Aber wenn sie merkten, dass sie nicht gewinnen konnten, priorisierten sie es, in die zweite Runde zu gelangen.

Spieler A begann die Sache mit „1“. Welcher Spieler hat gewonnen?

Solver Madeline Argent aus Launceston, Tasmanien, Australien, arbeitete rückwärts, beginnend mit dem, was passieren würde, nachdem einer der Spieler eliminiert wurde. In der Zwei-Spieler-Variante konnte der zweite Spieler immer gewinnen, indem er das nächste Vielfache von 5 sagte. Der erste Spieler sagte also 1, danach sagte der zweite Spieler 5. Dann, egal welche Zahlen der erste Spieler als nächstes sagte, der zweite Spieler würde sagen , gefolgt von 15, gefolgt von 16, an welchem Punkt der zweite Spieler siegen würde.

In dem Wissen, dass der zweite Spieler, der eine Zahl sagt, immer zwischen zwei Spielern gewinnt, was mit drei passiert ist Spieler?

Auch hier war es wichtig, rückwärts zu arbeiten – diesmal mit höheren Zahlen. Angenommen, Spieler A war der erste, der sagte 16. Das würde Spieler B eliminieren, wonach Spieler C in einem Zwei-Spieler-Spiel mit A 1 sagen würde. Mit anderen Worten, A würde gewinnen, gefolgt von C auf dem zweiten Platz und B auf dem dritten! Ebenso, wenn B oder C sagten 12, dann würden sie jeweils gewinnen.

Was wäre, wenn A als erster sagen würde

? Dann hätte B keine andere Wahl, als zu sagen 12, und so würde B gewinnen. In der Tat, wenn A eine beliebige Zahl zwischen und 19 (einschließlich), dann würde B sagen 16 als nächstes und gewinnen.

Sie können auf folgende Weise rückwärts weiterarbeiten: Angenommen, ein Spieler hat eine Zahl k gesagt ). Das bedeutete, dass der nächste Spieler k + 1, sagen konnte k + 2, k + 3 oder k + 4. Dieser nächste Spieler würde unter diesen vier Zahlen das optimale Ergebnis für sich selbst auswählen, damit er gewinnt (oder wenn nicht, damit er es in die nächste Spielrunde schafft). Und das war genau das Ergebnis, das passieren würde, wenn der ursprüngliche Spieler k sagte. Wenn Sie auf diese Weise rückwärts vorgehen, erhalten Sie die resultierende Tabelle:

Wer gewinnt Drei-Spieler Vene ?

Erster, zweiter und dritter Platz (1.-2.-3.), Wenn jeder Spieler eine bestimmte Zahl im Drei-Spieler-Modus sagt

Vene

Nummer Wann EIN sagt Nummer Wann B

sagt Nummer Wann

C

sagt Nummer 1

BAC CBA

ACB

2). ACB

BAC

CBA 3

CBA

ACB

BAC

4

CBA ACB

BAC

5

CBA

ACB BA C

6

CBA

ACB

BAC

7

BAC CBA

ACB

8 BAC CBA

ACB

9 BAC

CBA

ACB

BAC

CBA ACB

ACB

BAC

CBA CBA

ACB BAC

05

CBA

ACB

BAC

11

CBA

ACB

BAC 11 CBA

ACB BAC

BAC CBA ACB

05

BAC

CBA

ACB 14

BAC

CBA

ACB BAC

CBA

ACB

16 ACB

BAC

CBA

Wenn zum Beispiel Spieler B die Nummer 8 sagte, wäre das Endergebnis, dass C hereinkam Zuerst kam B auf den zweiten und A auf den dritten Platz.

Da Ihnen im Puzzle gesagt wurde, dass Spieler A 1 sagte, brauchen wir nur, um den endgültigen Gewinner zu ermitteln Schauen Sie sich die erste Zelle in der Tabelle an. Spieler B war der spätere Gewinner, gefolgt von A, der es in die zweite Runde geschafft hat, und schließlich C, der in der ersten Runde ausgeschieden ist.

Für zusätzliche Gutschrift haben Sie sich die Vier angesehen. Spielervariante des Spiels mit den Spielern A, B, C und D, die alle so viele Runden des Spiels wie möglich überstehen wollten. Wieder begann Spieler A mit „1“. Nun, welcher Spieler hat gewonnen?

Angenommen, Spieler A sagte erneut in der ersten Runde. Dann würde Spieler B eliminiert und C würde einen Drei-Wege-Wettbewerb zwischen C, D und A starten. Basierend auf der obigen Analyse wissen wir bereits, was in der Drei-Spieler-Variante passiert: Die Person, die zuerst geht, kommt als Zweiter Die Person, die Zweiter wird, kommt zuerst herein und die Person, die Dritter wird, kommt zuletzt herein. Also, wenn A sagte 12, das Endergebnis wäre, dass D an erster Stelle stand, C an zweiter Stelle kam, A an dritter Stelle stand und B an vierter Stelle stand.

Das Ausfüllen einer Tabelle wie in der Drei-Personen-Variante ergab Folgendes:

Wer gewinnt die Ader für vier Spieler ?

Erster, zweiter, dritter und vierter Platz (1.-2.-3.-4.), Wenn jeder Spieler a sagt bestimmte Anzahl in Vier-Spieler Vene

Nummer

B sagt Nummer

1

DCAB

ADBC

2

CBDA

BACD

CBDA

ADBC

BACD

DCAB

ADBC

BACD

6

BACD

7

BACD

CBDA

DCAB

ADBC

Wann A

sagt Nummer

Wann

Wann C sagt Nummer Wann D

sagt Nummer
CBDA
BACD
DCAB

ADBC

3 DCAB
4

CBDA

5

BACD

CBDA

DCAB

ADBC CBDA

DCAB

ADBC
ADBC

8

BACD

CBDA

DCAB

9

ADBC BACD

CBDA DCAB

DCAB ADBC BACD

CBDA CBDA

DCAB

ADBC

BACD

CBDA DCAB ADBC

BACD

CBDA DCAB

ADBC BACD

CBDA DCAB

ADBC

BACD

BACD CBDA

DCAB ADBC

10

BACD CBDA

DCAB ADBC 13

BACD

CBDA

DCAB

ADBC

18

BACD

CBDA

DCAB

ADBC

19

ADBC

BACD CBDA

DCAB

16

DCAB ADBC

BACD

CBDA

Da A zuerst ging und 1 sagte, war der spätere Gewinner des Vier-Spieler-Spiels Spieler C

, gefolgt von B, D und A.

Solver Stefano Perfetti aus Zürich, Schweiz, untersuchte Variationen mit zunehmender Anzahl von Spielern. Ich weiß nichts über dich, aber ich sehe in diesen Ergebnissen kein großes Muster, wenn die Anzahl der Spieler zunimmt.

Aber was ich sehen sehen, dass der arme Spieler A nicht gewinnt, wenn es zwischen zwei und gibt) Spieler. Die beste Option für Spieler A ist, alleine zu spielen. Mein Mitgefühl für diesen Viertklässler.

Willst du mehr Rätsel?

Na, hast du kein Glück? Es gibt ein ganzes Buch voller der besten Rätsel aus dieser Kolumne und einige nie zuvor gesehene Kopfkratzer. Es heißt „The Riddler“ und ist jetzt im Handel!

Möchten Sie ein Rätsel einreichen?

E-Mail Zach Wissner-Gross an riddlercolumn@gmail.com.

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