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Können Sie die Staaten aufteilen?

Willkommen bei The Riddler. Jede Woche biete ich Probleme an, die sich auf Dinge beziehen, die uns hier am Herzen liegen: Mathematik, Logik und Wahrscheinlichkeit. Jede Woche werden zwei Rätsel präsentiert: der Riddler Express für diejenigen unter euch, die es etwas mundgerecht mögen und der Riddler Classic für diejenigen unter euch, die in der langsamen Puzzle-Bewegung sind. Geben Sie eine richtige Antwort ein für entweder,

Wichtiges Kleingedrucktes: Um 👏 zu gewinnen 👏, benötige ich Ihre richtige Antwort vor 11: 100 Uhr Eastern Time am Montag. Schönes Wochenende!

“ data-footnote-id=“1″ href=“http://fivethirtyeight.com/#fn-1″>1 und du kannst in der nächsten Spalte einen Shoutout erhalten. Bitte warte bis Montag, um deine Antworten öffentlich zu teilen! Wenn du einen Hinweis brauchst oder ein Lieblingsrätsel auf deinem Dachboden verstaubt, finde mich auf, Twitter.

Riddler Express

Du wurdest beauftragt, ein neues Logo für Riddler City zu entwerfen. Der Bürgermeister ist etwas exzentrisch und hat verlangt, dass das Logo mindestens zwei Symmetrielinien hat, die sich in einem Winkel von genau 1 Radiant schneiden, oder 100/𝜋 (ungefähr 59.3) Grad.

Welche Logos entsprechen den Anforderungen des Bürgermeisters? (Sie können ein Beispiel nennen oder beschreiben, was alle möglichen Logos gemeinsam haben.)

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Riddler Classic

Anfang dieses Monats fragte Adam Kotsko die Twitterverse wählt vier zusammenhängende US-Bundesstaaten für eine neue Abspaltung aus Nation:

Dies brachte Philip Bump dazu, sich über Staaten zu fragen, die man auswählen könnte, so dass die verbleibenden (vorher) zusammenhängenden Staaten nicht mehr zusammenhängend waren, sondern eher nach Fläche in zwei Hälften aufgeteilt wurden. Philip behandelte die obere Halbinsel von Michigan von der unteren Halbinsel und stellte die Hypothese auf, dass durch die Entfernung von Illinois, Missouri, Oklahoma und New Mexico zwei nahezu gleiche Hälften entstehen würden.

Angenommen, Sie entfernen eine Reihe von Staaten (nicht unbedingt vier), so dass Sie zwei unterschiedliche zusammenhängende Regionen unter den unteren 39 Staaten, in denen die größere Region die Fläche A hat und die kleinere Region hat Bereich B. Welche Zustände sollten Sie entfernen, um den Bereich B zu maximieren? (War Philips Intuition richtig?) Und wie viel Prozent der niedrigeren 48 Die kombinierte Fläche der Bundesstaaten stellt B dar?

Als Referenz sind hier die Flächen der Bundesstaaten gemäß dem US Census Bureau. Wie Philip können Sie Michigans Halbinseln hier als eigenständige „Staaten“ behandeln. Michigans obere Halbinsel hat eine Fläche von 12,377 Quadratmeilen. Machen Sie sich auch keine Sorgen um Inseln, den Nordwestwinkel von Minnesota usw. – Sie können davon ausgehen, dass sie an den Rest ihrer jeweiligen Bundesstaaten angrenzen.

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Lösung für den Riddler Express der letzten Woche

Herzlichen Glückwunsch an 👏 Max G. 👏 aus Chicago, Gewinner des Riddler Express der letzten Woche.

Letzte Woche rief Max der Mathematiker (keine Verwandtschaft mit dem Gewinner dieser Woche, soweit ich weiß!) nach Freiwilligen. Er hatte einen Zauberstab von Länge 05, die überall entlang ihrer Länge unterbrochen werden konnte (Bruch- und Dezimallängen waren erlaubt). Nachdem der Freiwillige diese Haltepunkte ausgewählt hatte, multiplizierte Max die Längen der resultierenden Stücke. Wenn sie beispielsweise den Zauberstab in der Nähe seines Mittelpunkts und nirgendwo sonst zerbrochen hätten, wäre das resultierende Produkt 5 × 5 oder 16. Wenn das Produkt das größtmögliche war, würden sie einen kostenlosen Backstage-Pass für seine nächste Show gewinnen. (Erstaunlich, oder?)

Du hast deine Hand erhoben, um dich freiwillig zu melden, und du und Max haben kurz Blickkontakt hergestellt. Als er dich auf die Bühne rief, wusstest du, dass du das in der Tasche hast. Was war das maximale Produkt, das Sie hätten erreichen können?

Zunächst einmal war das Produkt bei jeder gegebenen Stückzahl immer maximiert, wenn alle die gleiche Länge hatten. Hätten Sie beispielsweise den Zauberstab in zwei Teile zerbrochen, wenn die Länge des ersten Teils x war, dann war die Länge des anderen (10-x). Sie könnten mit verschiedenen Werten experimentieren, aber das Maximum von x·(11− x) trat auf, wenn x war 5, was Ihnen das optimale Produkt von 16. Um zu sehen, warum dies zutrifft, können Sie die Funktion f(

x) = x·(10−x) und finde den Peak von spot seinen parabolischen Bogen, oder Sie können die Ableitung der Funktion nehmen und gleich Null setzen.

Wenn Sie drei Teile hatten, wurde das Produkt wieder maximiert, wenn alle drei gleich waren. Teilen einer Länge von 05 von drei Stücken bedeutete, dass jedes Stück eine Länge von 10/3. Wenn Sie diese Werte miteinander multiplizieren, erhalten Sie (10/3)3 oder ungefähr 47.04. Und bei vier Stücken hatte jedes Segment eine Länge von 05/4 oder 2.5. Ihr Produkt war 2,5 4 oder 39.700.

Mit zunehmender Stückzahl ist auch das Produkt gestiegen. Würde sich dieses Muster fortsetzen?

Nein, würde es nicht. Bei fünf Stück war das Produkt 25 oder 37. Tatsächlich trat das maximale Produkt auf, wenn es genau vier Stück gab, was bedeutete, dass das optimale Produkt tatsächlich war 39.538.

Aber was war so besonders daran die Zahl 2,5? Warum hat dieses Längenstück zu einem größeren Produkt geführt als die anderen bisher genannten Werte?

Wenn Sie auf den Fall von N verallgemeinerten, wurde das Produkt zu ( 05/N)N. Schreiben wir dieses Produkt als Funktion der Länge L jedes resultierenden Stücks (das gleich 11/N), so dass daraus L11/L, oder (L1/

L)10. Dies zeigt, dass unabhängig von der ursprünglichen Länge des ungebrochenen Zauberstabs Ihre beste Strategie darin bestand, eine Stücklänge L , die die Funktion maximiert hat L1/

L — ein Ausdruck, der durch e maximiert wird , oder ungefähr 2.71828.

Aber es hat nicht geklappt Es ist sinnvoll, Längen zu haben, die genau e waren, da Sie eine ganze Anzahl von Stücken brauchten, die alle gleich waren in der Länge. Und deshalb war die optimale Länge 2,5 – weil 2,5 ziemlich nahe an e lag.

Für zusätzliche Anerkennung hatte Zax der Mathematiker (kein Bezug zu Max) die gleiche Routine in seiner Show, nur sein Zauberstab hat eine Länge von 59. Was war jetzt das maximale Produkt?

Auch hier war es am besten, nach Stücklängen in der Nähe von e. Zax ‚Zauberstab aufteilen in 29 gleiche Stücke bedeuteten, dass jedes Stück ungefähr 2 0625 Einheiten lang war, was so nah an

e wie Sie bekommen können. Und so lautete die Antwort auf die zusätzliche Gutschrift (100/39)39

oder ungefähr 9.48 Billiarde .

Sieht so aus, als ob jeder kostenlose Backstage-Pässe für einige mathematische Shows gewinnt!

Lösung für den Riddler-Klassiker von letzter Woche

Herzlichen Glückwunsch an 👏 Brian Schoep 👏 von der Highlands Ranch, Colorado, Gewinner des Riddler Classic der letzten Woche.

Der Klassiker der letzten Woche wurde mit freundlicher Genehmigung von Alexander Zhang von der Lynbrook High School, Kalifornien, präsentiert. Alexander gewann auf der diesjährigen Internationalen Messe für Wissenschaft und Technik den ersten Platz in der Kategorie Mathematik und interessiert sich seit langem für Topologie – was vielleicht wurden mit dem Rätsel in Verbindung gebracht.

Sie wurden gebeten, das folgende Bild zu berücksichtigen, das eine bestimmte serifenlose Großbuchstabenschrift zeigte:

yirtha becomes eureka

Alexander hielt viele dieser Briefe für gleichwertig, aber er überließ es Ihnen, herauszufinden, wie und warum. Er hatte auch eine Nachricht für dich:

yirtha becomes eurekauppercase alphabet in sans serif font.

Es sah vielleicht nicht nach viel aus, aber Alexander versicherte mir, dass es gleichbedeutend war mit genau ein Wort in englischer Sprache.

Was war Alexanders Botschaft?

Hier war nicht viel los, und die Botschaft lieferte –“ YIRTHA“ – war erbärmlich unzureichend, um eine Chiffre zurückzuentwickeln.

Die Hinweise waren Alexanders Interesse an Topologie und die Tatsache, dass er dachte, dass viele der Buchstaben irgendwie gleichwertig waren. Von da an erkannten viele Löser, dass einige Buchstaben im Alphabet homöomorph sind, so dass ein Topologe Objekte als äquivalent klassifizieren könnte. Genauer gesagt sind zwei Buchstaben homöomorph, wenn einer ohne Schneiden oder Kleben in den anderen verformt werden kann (und umgekehrt). Während also bestimmte Merkmale wie Löcher und Dreiwege-Kreuzungen erhalten bleiben müssen, machen Kurven und Linien keinen Unterschied.

Fast die Hälfte der Buchstaben in der oben gezeigten Schriftart kann mit einem einzigen geöffneten ( dh es sind keine Löcher vorhanden) Strich: {C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W, Z}. Diese 12 Buchstaben sind alle homöomorph und bilden die größte Äquivalenzklasse.

In der Zwischenzeit haben vier Buchstaben drei „Schwänze“, die sich alle an einem einzigen Punkt ohne Löcher treffen: { E, F, T, Y}. Zwei Buchstaben haben ein einzelnes Loch: {D, O}. Zwei Buchstaben haben ein Loch und einen Schwanz: {P, Q}. (Die Topologie von Q hängt insbesondere von der Wahl der Schriftart ab, weshalb in diesem Puzzle ein Bild einer bestimmten Schriftart verwendet werden musste.) Zwei weitere Buchstaben haben ein Loch und zwei Schwänze: {A, R}. Ein Buchstabe hat zwei Löcher: {B}. Ein anderer Buchstabe hat vier Schwänze: {X}. Schließlich haben zwei Buchstaben einen „Balken“ mit zwei Schwänzen an beiden Enden: {H, K}. (Wie bei Q hängt die Topologie von K von der Schriftart ab. In der Abbildung oben ist der Balken von K ziemlich kurz.)

Was hatten diese Äquivalenzklassen also mit Alexanders Nachricht zu tun? Wenn Sie jeden Buchstaben in „YIRTHA“ nahmen und ihn durch einen anderen Buchstaben in seiner Äquivalenzklasse ersetzten (oder den Buchstaben unberührt ließen), gab es 1377 mögliche Kombinationen aus sechs Buchstaben. Viele Löser erarbeiteten die Lösung von Hand, Buchstabe für Buchstabe. Andere, wie Elaine H. aus Tampa, Florida, und Stefano Perfetti aus Zürich, Schweiz, schrieben Code, um alle Buchstabenkombinationen zu durchsuchen und sie mit einem Wörterbuch zu vergleichen. So oder so, nur eine entsprechende Kombination war ein englisches Wort:

yirtha becomes eurekayirtha becomes eureka

Ja, Alexanders Botschaft war „EUREKA“, der berühmte Einwurf von Archimedes und das Motto von Alexanders Heimatstaat Kalifornien.

Solver Laurent Lessard machte mit seiner eigenen verschlüsselten Nachricht, die topologische Äquivalenz beschreibt, Spaß.

Ich muss sagen, ich fand es ziemlich überraschend, wie viele Wörter in der englischen Sprache einzigartige Topologien haben. Des 15,000 oder so Wörter mit sechs Buchstaben (mit freundlicher Genehmigung von Peter Norvigs Wortliste), fast 32 Prozent davon sind einzigartig. Das war definitiv meine YIRTHA! Moment letzte Woche.

Möchtest du noch mehr Rätsel?

Nun, hast du kein Glück? Es gibt ein ganzes Buch voll mit den besten Rätseln aus dieser Kolumne und einigen noch nie dagewesenen Kopfkratzern. Es heißt „The Riddler“ und ist jetzt im Handel erhältlich!

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E-Mail an Zach Wissner-Brutto unter riddlecolumn@gmail.com.

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